【分式的导数】在微积分中，分式的导数是求函数的导数时经常遇到的问题。分式形式通常表示为两个函数的比值，例如 $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $。对于这类函数，我们可以使用“商法则”来求其导数。本文将对分式的导数进行总结，并通过表格形式展示常见类型的分式及其导数公式。
一、分式的导数基本概念
分式的导数是指对一个由两个函数相除构成的函数求导的过程。设 $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $，其中 $ u(x) $ 和 $ v(x) $ 是可导函数，且 $ v(x) \neq 0 $，则根据商法则，其导数为：
$$
f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
$$
这个公式是计算分式导数的基础。
二、分式的导数公式总结（表格）
| 分式形式 | 导数公式 | 说明 |
| $ \frac{c}{x} $ | $ -\frac{c}{x^2} $ | c 为常数 |
| $ \frac{x}{a} $ | $ \frac{1}{a} $ | a 为常数 |
| $ \frac{u(x)}{v(x)} $ | $ \frac{u'v - uv'}{v^2} $ | 商法则通用公式 |
| $ \frac{1}{x^n} $ | $ -\frac{n}{x^{n+1}} $ | n 为正整数 |
| $ \frac{x^m}{x^n} $ | $ \frac{(m-n)x^{m-n-1}}{1} $ | 简化后为 $ x^{m-n} $ 的导数 |
| $ \frac{ax + b}{cx + d} $ | $ \frac{ad - bc}{(cx + d)^2} $ | 线性分式导数 |
| $ \frac{\sin x}{\cos x} $ | $ \sec^2 x $ | 即 $ \tan x $ 的导数 |
| $ \frac{e^x}{x} $ | $ \frac{e^x(x - 1)}{x^2} $ | 涉及指数与多项式结合 |
三、应用示例
1. 例1： 求 $ f(x) = \frac{x^2}{x+1} $ 的导数
使用商法则：
$$
f'(x) = \frac{(2x)(x+1) - (x^2)(1)}{(x+1)^2} = \frac{2x^2 + 2x - x^2}{(x+1)^2} = \frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2}
$$
2. 例2： 求 $ f(x) = \frac{\ln x}{x} $ 的导数
使用商法则：
$$
f'(x) = \frac{\left(\frac{1}{x}\right)x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}
$$
四、注意事项
- 在使用商法则时，必须确保分母不为零；
- 若分式可以简化，应优先简化后再求导；
- 对于复杂的分式，可能需要结合链式法则、乘积法则等进行多步求导。
通过以上总结，我们可以清晰地了解分式的导数计算方法和常见类型。掌握这些内容有助于在实际问题中更高效地处理分式函数的求导问题。