【常用积分公式】在数学学习和应用中，积分是极为重要的工具之一。无论是微积分的基础内容还是高等数学的深入研究，掌握一些常用的积分公式对于解题和理解概念都具有重要意义。本文将对常见的不定积分与定积分公式进行总结，并以表格形式清晰展示，便于查阅和记忆。
一、基本积分公式
以下是一些最基本的不定积分公式，适用于大多数初等函数：
| 函数 $ f(x) $ | 积分结果 $ \int f(x) \, dx $ | ||
| $ x^n $ | $ \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $（$ n \neq -1 $） | ||
| $ \frac{1}{x} $ | $ \ln | x | + C $ |
| $ e^x $ | $ e^x + C $ | ||
| $ a^x $ | $ \frac{a^x}{\ln a} + C $（$ a > 0, a \neq 1 $） | ||
| $ \sin x $ | $ -\cos x + C $ | ||
| $ \cos x $ | $ \sin x + C $ | ||
| $ \tan x $ | $ -\ln | \cos x | + C $ |
| $ \cot x $ | $ \ln | \sin x | + C $ |
| $ \sec^2 x $ | $ \tan x + C $ | ||
| $ \csc^2 x $ | $ -\cot x + C $ |
二、三角函数相关积分
对于三角函数的积分，有一些特殊的技巧和公式：
| 函数 $ f(x) $ | 积分结果 $ \int f(x) \, dx $ | ||
| $ \sin(ax) $ | $ -\frac{1}{a} \cos(ax) + C $ | ||
| $ \cos(ax) $ | $ \frac{1}{a} \sin(ax) + C $ | ||
| $ \sec x $ | $ \ln | \sec x + \tan x | + C $ |
| $ \csc x $ | $ -\ln | \csc x + \cot x | + C $ |
| $ \sin^2 x $ | $ \frac{x}{2} - \frac{\sin(2x)}{4} + C $ | ||
| $ \cos^2 x $ | $ \frac{x}{2} + \frac{\sin(2x)}{4} + C $ |
三、有理函数与反三角函数积分
对于一些有理函数或反三角函数，也有相应的积分公式：
| 函数 $ f(x) $ | 积分结果 $ \int f(x) \, dx $ | ||
| $ \frac{1}{x^2 + a^2} $ | $ \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C $ | ||
| $ \frac{1}{x^2 - a^2} $ | $ \frac{1}{2a} \ln\left | \frac{x - a}{x + a}\right | + C $ |
| $ \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} $ | $ \arcsin\left(\frac{x}{a}\right) + C $ | ||
| $ \frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}} $ | $ \ln\left | x + \sqrt{x^2 + a^2}\right | + C $ |
| $ \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}} $ | $ \ln\left | x + \sqrt{x^2 - a^2}\right | + C $ |
四、指数与对数函数积分
指数函数和对数函数的积分也较为常见：
| 函数 $ f(x) $ | 积分结果 $ \int f(x) \, dx $ |
| $ x e^{ax} $ | $ \frac{e^{ax}(ax - 1)}{a^2} + C $ |
| $ \ln x $ | $ x \ln x - x + C $ |
| $ x^n \ln x $ | $ \frac{x^{n+1} \ln x}{n+1} - \frac{x^{n+1}}{(n+1)^2} + C $（$ n \neq -1 $） |
五、定积分公式（部分）
定积分常用于计算面积、体积等实际问题，其值为函数在区间上的积分结果：
| 积分表达式 | 结果 |
| $ \int_a^b 1 \, dx $ | $ b - a $ |
| $ \int_a^b x \, dx $ | $ \frac{b^2 - a^2}{2} $ |
| $ \int_0^{\pi/2} \sin x \, dx $ | $ 1 $ |
| $ \int_0^{\pi/2} \cos x \, dx $ | $ 1 $ |
| $ \int_0^{\infty} e^{-x} dx $ | $ 1 $ |
| $ \int_0^{\infty} \frac{1}{1 + x^2} dx $ | $ \frac{\pi}{2} $ |
六、小结
掌握这些常用的积分公式不仅有助于提高解题效率，还能加深对积分本质的理解。虽然有些复杂的函数需要通过分部积分、换元法或特殊技巧来求解，但基础公式的熟练运用是进一步学习的关键。建议在学习过程中多加练习，结合图形和实际例子加以理解，从而达到融会贯通的效果。