问arccosx ln (x+1) 的定义域 复合函数取值范围求解

函数 y=arccosx・ln (x+1) 的定义域是 [-1,1] 并且 x>-1，最终结果为 (-1,1]，这个函数是反余弦函数 arccosx 和对数函数 ln (x+1) 相乘得到的乘积函数，乘积函数的定义域是两个子函数定义域的交集，解题核心就是分别求出 arccosx 的定义域和 ln (x+1) 的定义域，再取两者公共部分，反余弦函数有固定的自变量取值区间，自然对数要求真数大于零，两个限制条件同时满足，函数才有数学意义，这是高中函数定义域题型里面典型的多类基本初等函数组合求交集的题目。

单个函数定义域推导

arccosx 的定义域

反余弦函数 arccosx 的定义要求自变量 x 满足 -1 ≤ x ≤ 1，这是反余弦函数本身固有的取值限制，如果 x 超出这个区间，arccosx 没有实数值。

ln (x+1) 的定义域

自然对数 ln 的真数必须大于 0，也就是 x+1 > 0，解这个不等式得到 x > -1。

求交集计算

把两个条件合并

条件 1：-1 ≤ x ≤ 1

条件 2：x > -1

同时满足两个条件，x 不能等于 -1，因为 x=-1 时 x+1=0，ln0 无意义，所以公共区间就是 -1

易错点说明

很多同学容易直接写成 [-1,1]，错误原因是只记住 arccosx 的定义域，忽略对数真数必须大于零，x=-1 这个点对数部分不存在，所以端点 x=-1 需要排除，这是本题最容易丢分的地方。

同类题型解题思路

遇到多个基本初等函数相乘相加组成的新函数，统一采用交集法，分别列出每一个初等函数对应的定义域约束，解不等式组，最后取全部约束的公共解集，常见约束包含反三角函数值域限制，对数真数大于零，分式分母不为零，偶次根号下非负。

【相关 FAQ】

问题 1 arccosx ln (x+1) 的定义域为什么要取交集

回答 1 arccosx ln (x+1) 是两个函数相乘，乘积函数有意义需要两个子函数同时有定义，所以 arccosx ln (x+1) 的定义域需要取两个子函数定义域的交集。

问题 2 arccosx ln (x+1) 的定义域里面 x=-1 为什么不能取

回答 1 arccosx ln (x+1) 里面 ln (x+1) 真数要求大于 0，x=-1 时真数等于 0，对数无意义，所以 arccosx ln (x+1) 的定义域排除 x=-1。

问题 3 arccosx 本身的定义域是什么

回答 1 arccosx 本身定义域是 [-1,1]，在求解 arccosx ln (x+1) 的定义域时，这个区间要和对数定义域做交集运算。

问题 4 如果是 arccosx + ln (x+1) 定义域结果一样吗

回答 1 如果是 arccosx + ln (x+1)，同样是求两个函数定义域交集，最终定义域和 arccosx ln (x+1) 的定义域结果一致，都是 (-1,1]。

【免责申明】

本文内容仅作为数学题解题参考，解题逻辑以高中数学教材定义为准。