【正切函数公式】正切函数是三角函数中的一种，常用于描述直角三角形中的边角关系，也广泛应用于数学、物理和工程等领域。在单位圆中，正切函数可以表示为正弦函数与余弦函数的比值。本文将对正切函数的基本公式进行总结，并通过表格形式展示常见角度的正切值。
一、正切函数的基本定义
在直角三角形中，正切函数（tan）定义为对边与邻边的比值：
$$
\tan(\theta) = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}}
$$
在单位圆中，正切函数可以表示为：
$$
\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}
$$
其中，$\theta$ 是角度，$\sin(\theta)$ 和 $\cos(\theta)$ 分别为正弦和余弦函数。
二、正切函数的性质
1. 周期性：正切函数的周期为 $\pi$，即：
$$
\tan(\theta + n\pi) = \tan(\theta), \quad n \in \mathbb{Z}
$$
2. 奇函数：正切函数是奇函数，满足：
$$
\tan(-\theta) = -\tan(\theta)
$$
3. 定义域：正切函数在 $\cos(\theta) = 0$ 处无定义，即：
$$
\theta \neq \frac{\pi}{2} + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}
$$
4. 值域：正切函数的值域为全体实数，即：
$$
(-\infty, +\infty)
$$
三、常用角度的正切值表
| 角度（弧度） | 角度（度数） | 正切值（tanθ） |
| 0 | 0° | 0 |
| $\frac{\pi}{6}$ | 30° | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ |
| $\frac{\pi}{4}$ | 45° | 1 |
| $\frac{\pi}{3}$ | 60° | $\sqrt{3}$ |
| $\frac{\pi}{2}$ | 90° | 未定义 |
| $\frac{2\pi}{3}$ | 120° | $-\sqrt{3}$ |
| $\frac{3\pi}{4}$ | 135° | -1 |
| $\frac{5\pi}{6}$ | 150° | $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ |
| $\pi$ | 180° | 0 |
四、正切函数的应用
正切函数在多个领域中都有广泛应用，包括但不限于：
- 测量与导航：用于计算高度、距离和角度。
- 物理运动分析：如斜面上物体的运动分析。
- 信号处理：在傅里叶变换等数学工具中涉及三角函数。
- 计算机图形学：用于旋转、缩放和投影等操作。
五、小结
正切函数是三角函数的重要组成部分，其基本公式为 $\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$，具有周期性、奇函数性和特定的定义域与值域。掌握常见角度的正切值有助于快速计算和应用。通过表格形式整理的角度值能够帮助学习者更直观地理解正切函数的变化规律。