【等差数列中项求和公式】在数学学习中，等差数列是一个重要的知识点。等差数列是指每一项与前一项的差相等的一列数，这个固定的差称为“公差”。在实际应用中，常常需要计算等差数列的和，尤其是当已知中间项时，使用“中项求和公式”可以更加简便地进行计算。
一、等差数列的基本概念
- 首项（a₁）：数列的第一个数
- 末项（aₙ）：数列的最后一个数
- 公差（d）：相邻两项的差
- 项数（n）：数列中总共有多少个数
二、等差数列中项求和公式
在等差数列中，若知道中间项（即第k项），可以通过以下公式快速求出整个数列的和：
$$
S = n \times a_k
$$
其中：
- $ S $ 是等差数列的总和
- $ n $ 是数列的项数
- $ a_k $ 是中间项的值
> 注意：此公式适用于项数为奇数的情况，此时存在一个明确的中间项；若项数为偶数，则没有唯一的中间项，此时需使用常规的求和公式。
三、常规求和公式对比
| 公式名称 | 公式表达式 | 使用条件 |
| 中项求和公式 | $ S = n \times a_k $ | 项数为奇数 |
| 常规求和公式 | $ S = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ | 适用于任意项数 |
四、示例说明
假设有一个等差数列：3, 5, 7, 9, 11
- 首项 $ a_1 = 3 $
- 末项 $ a_5 = 11 $
- 项数 $ n = 5 $（奇数）
- 中间项 $ a_3 = 7 $
使用中项求和公式：
$$
S = 5 \times 7 = 35
$$
使用常规求和公式：
$$
S = \frac{5}{2} \times (3 + 11) = \frac{5}{2} \times 14 = 35
$$
两种方法结果一致，验证了公式正确性。
五、总结
| 项目 | 内容 |
| 公式名称 | 等差数列中项求和公式 |
| 公式表达式 | $ S = n \times a_k $ |
| 适用条件 | 项数为奇数，且已知中间项 |
| 优点 | 简化计算，避免逐项累加 |
| 对比公式 | 常规求和公式：$ S = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ |
通过掌握等差数列中项求和公式，可以更高效地解决相关问题，尤其在考试或实际应用中具有重要意义。