【二元一次方程求根公式的简述】在数学中，二元一次方程组是含有两个未知数的一次方程组，通常形式为：
$$
\begin{cases}
a_1x + b_1y = c_1 \\
a_2x + b_2y = c_2
\end{cases}
$$
其中，$ x $ 和 $ y $ 是未知数，$ a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2 $ 是已知常数。解这样的方程组，可以通过代入法、消元法或行列式法（克莱姆法则）等方法进行求解。
为了更高效地求解，人们总结出了一套通用的求根公式，适用于大多数可解的二元一次方程组。以下是对该公式的基本介绍与应用方式的简要说明。
一、基本概念
- 二元一次方程组：由两个关于两个变量的一次方程组成。
- 唯一解：当两个方程不平行且不重合时，存在唯一解。
- 无解：当两直线平行但不重合时，无解。
- 无穷多解：当两直线完全重合时，有无穷多解。
二、求根公式简介
对于标准形式的二元一次方程组：
$$
\begin{cases}
a_1x + b_1y = c_1 \\
a_2x + b_2y = c_2
\end{cases}
$$
若系数矩阵的行列式 $ D \neq 0 $，则方程组有唯一解，解的形式如下：
$$
x = \frac{D_x}{D}, \quad y = \frac{D_y}{D}
$$
其中：
- $ D = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} = a_1b_2 - a_2b_1 $
- $ D_x = \begin{vmatrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{vmatrix} = c_1b_2 - c_2b_1 $
- $ D_y = \begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix} = a_1c_2 - a_2c_1 $
三、公式适用条件
| 条件 | 说明 |
| $ D \neq 0 $ | 方程组有唯一解 |
| $ D = 0 $ | 需进一步判断是否有解（可能无解或无穷解） |
| $ D_x = 0 $ 且 $ D_y = 0 $ | 若 $ D = 0 $，且 $ D_x = D_y = 0 $，则有无穷多解 |
| $ D = 0 $ 但 $ D_x \neq 0 $ 或 $ D_y \neq 0 $ | 则无解 |
四、示例说明
假设方程组为：
$$
\begin{cases}
2x + 3y = 8 \\
4x + 5y = 14
\end{cases}
$$
计算行列式：
- $ D = 2 \times 5 - 4 \times 3 = 10 - 12 = -2 $
- $ D_x = 8 \times 5 - 14 \times 3 = 40 - 42 = -2 $
- $ D_y = 2 \times 14 - 4 \times 8 = 28 - 32 = -4 $
因此：
- $ x = \frac{-2}{-2} = 1 $
- $ y = \frac{-4}{-2} = 2 $
最终解为：$ x = 1, y = 2 $
五、总结
二元一次方程求根公式是一种系统化、结构化的求解方法，能够快速得出方程组的解。通过行列式的方法，可以清晰判断方程组的解的情况，并避免复杂的代入和消元过程。掌握这一方法有助于提高解题效率和逻辑思维能力。
| 项目 | 内容 |
| 公式名称 | 二元一次方程求根公式 |
| 应用对象 | 二元一次方程组 |
| 解的条件 | 当行列式 $ D \neq 0 $ 时有唯一解 |
| 解的形式 | $ x = \frac{D_x}{D}, y = \frac{D_y}{D} $ |
| 行列式定义 | $ D = a_1b_2 - a_2b_1 $, $ D_x = c_1b_2 - c_2b_1 $, $ D_y = a_1c_2 - a_2c_1 $ |
| 特殊情况 | $ D = 0 $ 时需进一步分析解的存在性 |